সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রের উৎস সন্ধানে

 

সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রের উৎস সন্ধানে

গৌতম গঙ্গোপাধ্যায়

সম্প্রতি কেন্দ্রীয় সরকার ও বিশ্ববিদ্যালয় মঞ্জুরি আয়োগ ইন্ডিয়ান নলেজ সিস্টেমের উপর জোর দিচ্ছেন। কলেজ বিশ্ববিদ্যালয় স্তরে এই বিষয়ে পড়ানোর নির্দেশ এসেছে। ইন্ডিয়ান নলেজ সিস্টেম — এই বাক্যবন্ধের সঠিক বাংলা রূপান্তর কী হবে আমি জানি না; কেন্দ্রীয় শিক্ষামন্ত্রকের এই বিষয়ে যে ওয়েবসাইট আছে, তাতে লেখা আছে ভারতীয় জ্ঞান পরম্পরা। পরম্পরা কথা থেকে অবশ্য বোঝা যাচ্ছে কী বলতে চাওয়া হয়েছে, কিন্তু সিস্টেম শব্দটা সেই অর্থে আগে কোথাও ব্যবহার হয়েছে কিনা জানি না।

নাম যাই হোক, বিষয়টি বেশ বিতর্কিত সন্দেহ নেই। বিজ্ঞানে প্রাচীন ভারতের নিঃসন্দেহে অনেক অবদান আছে, কিন্তু তা ইতিহাসের বাইরে আলাদা করে পড়াবার প্রয়োজন কেন পড়ল জানি না। হাজার হাজার বছর আগের মানুষ যে সমস্ত সমস্যার মুখোমুখি হয়েছিল, তারা তাদের মতো করে সেই সমস্যার সমাধান করেছিল। সেই ইতিহাস থেকে আমরা শিক্ষা নিতে পারি, কিন্তু তাদের সরাসরি আজকের সমস্যার সমাধানে প্রয়োগ করা যাবে না। যে ছাত্র বা গবেষক কম্পিউটার সায়েন্স বা জেনেটিক ইঞ্জিনিয়ারিং নিয়ে পড়াশোনা করবে, এই সমস্ত বিষয় তাদের কী উপকারে লাগবে? তবে এই প্রবন্ধে আমরা সেই আলোচনায় যাব না। বিশ্ববিদ্যালয় মঞ্জুরি আয়োগ এই বিষয়ে যে পাঠ্যসূচী ঘোষণা করেছে, সেখানে বৌধায়ন-পিথাগোরাসের উপপাদ্যের উল্লেখ আছে। শ্রেণিকক্ষে পিথাগোরাসের উপপাদ্যই পড়ানো হয়, গণিত শিখতে ইতিহাসের প্রয়োজন নেই বলেই তা নিয়ে আলোচনা হয় না। এই লেখাতে আমরা এই বিশেষ উপপাদ্যটির ইতিহাস ফিরে দেখব।

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের কথা আমরা সবাই জানি — সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির (a) বর্গ ও লম্বের (b) বর্গের যোগফল অতিভুজের (c) বর্গের সমান। গণিতের ভাষায় বলতে পারি, a²+ b²=c²। অন্য ভাবে বললে, অতিভুজকে বাহু ধরে একটা বর্গক্ষেত্র আঁকলে তার ক্ষেত্রফল, লম্ব ও ভূমির উপরে আঁকা দুই বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফলের সমান। এর বিপরীতটাও সত্য, অর্থাৎ যদি দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর বর্গের সমান হয়, তাহলে প্রথম দুই বাহুর মধ্যের কোণটি সমকোণ। বিশ্ববিদ্যালয় মঞ্জুরি আয়োগের পাঠক্রমে এটিকে পিথাগোরাসের সঙ্গে শুল্বসূত্রকার বৌধায়নের নামের সঙ্গে যুক্ত করা হয়েছে।

পিথাগোরাসের উপপাদ্যটিকে নানা ভাবে প্রমাণ করা যায়, ২০১৭ সালে প্রকাশিত এক প্রবন্ধে লেখক ৩৭০টি প্রমাণের কথা বলেছেন। গত কয়েক বছরে ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে উপপাদ্যটিকে অনেকে প্রমাণ করেছেন, যা একসময় মনে করা হত অসম্ভব। ২০২৩ সালে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের দুই স্কুল ছাত্রী ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে নতুন এক প্রমাণ আবিষ্কার করেছেন। কিন্তু উপপাদ্যটি যে পিথাগোরাস প্রথম প্রমাণ করেছিলেন, তার পক্ষে কোনো নিশ্চিত তথ্য আমাদের জানা নেই। তাই আমরা এই লেখাতে এটিকে সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র বলব। (কেন উপপাদ্য না বলে সূত্র বলছি তার কারণ পরে বোঝা যাবে।) পিথাগোরাস ছিলেন গ্রিক দার্শনিক ও বিজ্ঞানী, তাঁর জীবনকাল আনুমানিক ৫৭০-৪৯৫ খ্রিস্টপূর্বাব্দ। তাঁর সম্পর্কে অনেক গল্প প্রচলিত আছে, তার মধ্যে একটি হল তিনি এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করে আনন্দে দেবতার উদ্দেশ্যে একটি বা একাধিক ষাঁড় বলি দিয়েছিলেন। কিন্তু সমকালীন সাক্ষ্য থেকে পিথাগোরাস যে এই প্রমাণ করেছিলেন তেমন কোনো খবর পাওয়া যায় না। পিথাগোরাস নিজে ছিলেন নিরামিষাশী ও পশু বলির বিরোধী, তাই গল্পটা নিয়েও সন্দেহ আছে। কেন পিথাগোরাসের নাম এই উপপাদ্যটির সঙ্গে যুক্ত হল তা জানা যায় না।

ইউক্লিড ৩০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দ নাগাদ তাঁর বিখ্যাত জ্যামিতি বই এলিমেন্টস-এ এই বিশেষ উপপাদ্যটির দুটি প্রমাণ দিয়েছিলেন। বিপরীত উপপাদ্যটির প্রমাণ ইউক্লিডের লেখাতেই প্রথম পাওয়া যায়। পিথাগোরাসের নাম ইউক্লিড করেননি। তবে পিথাগোরাস এই উপপাদ্যের কথা নিঃসন্দেহে জানতেন, কারণ তিনি এটি ব্যবহার করেই প্রথম দেখিয়েছিলেন যে 2-এর বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা, তাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায় না।

এবার আসি বৌধায়নের কথায়। ভারতের প্রাচীনতম গণিত বিষয়ক যে বই আমাদের কাছে এসে পৌঁছেছে তা হল শুল্বসূত্র। শুল্ব শব্দের অর্থ হল দড়ি। শুল্বসূত্রে বিভিন্ন প্রকার যজ্ঞবেদি নির্মাণের কথা বলা আছে। শুল্বসূত্রের বেশ কয়েকজন লেখক আছে, তাঁদের মধ্যে কালের বিচারে প্রথম হলেন বৌধায়ন। বৌধায়নের লেখাতে সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রটির কথা আছে। এর থেকে পুরানো কোনো উৎসে সূত্রটি এত স্পষ্টভাবে পাওয়া যায়নি। প্রাচীন ভারতের অন্যান্য নিদর্শনের মতোই শুল্বসূত্রের কাল নির্ণয় বেশ কঠিন; বিভিন্ন মতে আটশো থেকে দু'শো খ্রিস্টপূর্বাব্দ পর্যন্ত এসেছে। সব সূত্রগুলি এক সময়ে লেখা নয়। বৌধায়ন খুব সম্ভব পিথাগোরাসের পূর্ববর্তী।

তাহলে কি বৌধায়নকেই আমরা সমকোণী ত্রিভুজের উপপাদ্যের আবিষ্কর্তা বলব? প্রশ্ন হল আমরা উপপাদ্যের আবিষ্কার বলতে কী বোঝাতে চাই? আমাদের স্কুলের জ্যামিতি বইতে উপপাদ্যের প্রমাণ দেওয়া থাকে। সারা পৃথিবীতেই জ্যামিতির মডেল হল ইউক্লিডের বই। সেখানে কয়েকটি স্বতঃসিদ্ধ থেকে সমস্ত উপপাদ্যগুলি প্রমাণ করা হয়েছে। শুল্বসূত্রে কোথাও এই অর্থে প্রমাণ পাওয়া যাবে না। আধুনিক অর্থে তাকে উপপাদ্য না বলে সে জন্য সূত্র বলাই শ্রেয় মনে হয়েছে। ভারতে সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রের প্রথম প্রমাণ পাওয়া যায় দ্বাদশ শতাব্দীতে দ্বিতীয় ভাস্করাচার্যের লেখাতে। সঙ্গের ছবিতে সেই প্রমাণটি দেখানো হল। তবে এ ব্যাপারে সন্দেহ নেই যে প্রমাণটি আরো প্রাচীন।

 

ভাস্করের দেওয়া সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রের প্রমাণ

এই উপপাদ্যটির আমাদের জানান প্রাচীনতম প্রমাণটি অবশ্য এলিমেন্টস-এর থেকেও অনেক পুরানো, সেটি পাওয়া গেছে চিনের চৌ পে সুয়ান চিং বইতে। সেখানে এক কাহিনিতে গণিতবিদ শ্যাঙ কাও অভিজাত শাসক ঝাউ গঙ্গকে সূত্রটি প্রমাণ করে দেখিয়েছেন। যদিও তারিখটা নিশ্চিত নয়, কিন্তু এটিই আমাদের জানা প্রমাণগুলির মধ্যে যে সব থেকে পুরানো তা নিয়ে সন্দেহ নেই। কায়রো ম্যাথামেটিকাল প্যাপিরাসে (কাল ৩০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দ) ন'টি গাণিতিক সমস্যা দেওয়া আছে যাদের সমাধানের জন্য আলোচ্য সূত্রটির প্রয়োজন হয়।

আমরা জানি যে প্রাচীন যুগের বিভিন্ন সভ্যতার মধ্যে যোগাযোগ ছিল। তাই কোনো একটি আবিষ্কার বা উদ্ভাবনের খবর অন্যত্র পৌঁছানো অস্বাভাবিক নয়। আবার যোগাযোগ স্বাভাবিকভাবেই ছিল খুব ধীরগতিতে, তাই একই আবিষ্কার স্বাধীনভাবে বিভিন্ন সভ্যতায় হওয়াও সম্ভব। প্রাচীন কালের অনেক কথাই আমাদের এখনো অজানা; তথ্যের অভাবে এই নিয়ে কথা না বলাই শ্রেয়। যে অর্থে বিশ্ববিদ্যালয় মঞ্জুরি কমিশন বৌধায়ন-পিথাগোরাসের উপপাদ্য বলতে চেয়েছে, সেই অর্থে এটিকে শ্যাং কাও উপপাদ্য বলা উচিত। কিন্তু আমরা দেখব যে সূত্রটি নিঃসন্দেহে আরো প্রাচীন।

এবার আসি পিথাগোরিয় ত্রয়ীর কথায়। যদি তিনটি সংখ্যা a, b ও c-র জন্য a²+ b²=c² শর্তটি পূরণ হয় তাহলে তাকে বলা হয় পিথাগোরিয় ত্রয়ী। উদাহরণ হিসাবে (3,4,5), (5,12,13) এই ত্রয়ী দুয়ের কথা ভাবা যেতে পারে, যেখানে প্রথম দুটির বর্গ যোগ করলে তৃতীয়টির বর্গ পাওয়া যাবে। আবার যে কোনো ত্রয়ীকে পূর্ণ সংখ্যা দিতে গুণ করলে এক নতুন ত্রয়ী পাওয়া যারে পারে, যেমন (3,4,5) ত্রয়ীটিকে দুই বা তিন দিয়ে গুণ করে পাই যথাক্রমে (6,8,10) ও (9,12,15); এগুলিও পিথাগোরিয় ত্রয়ী। স্পষ্টতই পিথাগোরিয় ত্রয়ী ও সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সম্পর্কটি পরস্পরের সঙ্গে সংযুক্ত। পিথাগোরিয় ত্রয়ীর ইতিহাস কত প্রাচীন?

বৌধায়নের শুল্বসূত্রে বেশ কয়েকটি পিথাগোরিয় ত্রয়ীর কথা আছে। কিন্তু পিথাগোরিয় ত্রয়ীর ইতিহাস বহু প্রাচীন। মেসোপটেমিয় (অর্থাৎ বর্তমান ইরাক) সভ্যতার এক বহু পুরানো মাটির ট্যাবলেট প্লিম্পটন 322-র বয়স মেপে জানা গেছে সেটি খ্রিস্টপূর্ব অষ্টাদশ শতকের নিদর্শন। সেখানে যে সংখ্যাগুলি আছে, সেটিকে পিথাগোরিয় ত্রয়ীর আলোকে ব্যাখ্যা করা যায়। নিচের সারণীতে সেই ট্যাবলেটের কয়েকটি সংখ্যা সেই রূপে দেখানো হল।

সারণী ১ - প্লিম্পটন 322 ট্যাবলেটে পাওয়া পিথাগোরিয় ত্রয়ী

a	b	c
119	120	169
3367	3456	4825
4601	4800	6649
12709	13500	18541
4961	6480	8161
1771	2700	3229
1679	2400	2929

স্বাভাবিক প্রশ্ন আসে এই সংখ্যাগুলো ট্যাবলেটের লিপিকার কেমন করে পেলেন? ট্যাবলেটে পাওয়া অধিকাংশ ত্রয়ীর সংখ্যাগুলি পরস্পর মৌলিক, অর্থাৎ কোনো অপেক্ষাকৃত ছোট ত্রয়ীকে পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করে এগুলি পাওয়া সম্ভব নয়। আধুনিক কম্পিউটার ছাড়া শুধুমাত্র আন্দাজ করে বা আকস্মিক ভাবে এত বড়বড় ত্রয়ী পাওয়া সম্ভব নয় বলেই মনে হয়। এই নিয়ে বিভিন্ন মত আছে, এখনো পর্যন্ত কোন সিদ্ধান্তে পৌঁছানো সম্ভব হয়নি।

আরো একটি প্রায় সমসাময়িক ট্যাবলেট YBC 7289-এ একটি বর্গক্ষেত্র এঁকে তার কর্ণ বরাবর 2-এর বর্গমূল লেখা আছে। এটিও স্পষ্টতই সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রটিকে ব্যবহার করা হয়েছে; সূত্রটি থেকে দেখা যায় যে কর্ণ ও বাহুর অনুপাত হল 2-এর বর্গমূল। প্রাচীনকালে এই বর্গমূলটির এর থেকে সঠিক মান পাওয়া যায় নি, দশমিকের পরে ছয় ঘর পর্যন্ত মানটা ঠিক।

  

প্লিম্পটন 322

বৌধায়ন কি সূত্রটির কোনো প্রমাণ আবিষ্কার করেছিলেন বা জানতেন? বিখ্যাত বিজ্ঞানী বিজ্ঞানের ঐতিহাসিক সমরেন্দ্রনাথ সেন লিখেছেন যে প্রমাণটি নিঃসন্দেহে বৌধায়নের জানা ছিল, যদিও তার পক্ষে কোনো নির্ভরযোগ্য তথ্য বা যুক্তি তিনি দেননি। এখানেই প্রশ্ন আসে যে প্রমাণ না জেনে সূত্রটি আবিষ্কার করা কি সম্ভব? এই প্রসঙ্গে রামকৃষ্ণ ভট্টাচার্য তাঁর The Origin of Geometry in India: A Study of the Sulbasutras বইতে লিখেছেন যে প্রাচীন ভারতে জ্যামিতির ইতিহাস জানতে হলে আমাদের কিছু পুরানো ধারণা পরিত্যাগ করতে হবে। ইউক্লিডের জ্যামিতিই একমাত্র মডেল নয়; শুধুই ভারতে নয়, অন্য সভ্যতাতেও জ্যামিতি ইউক্লিডিয় পদ্ধতিতে সূচনা হয়নি। ইউক্লিডিয় বিমূর্ত পদ্ধতি প্রাচীন সভ্যতাতে কোনো কাজে আসত না। বলা হয় যে নীল নদে বন্যার পরে জমির মাপ ঠিক করতে গিয়ে প্রাচীন মিশরে জ্যামিতির সূচনা হয়েছিল। অবশ্য এটাই একমাত্র মত নয়; বিখ্যাত প্রত্নতত্ত্ববিদ ও ঐতিহাসিক ভি গর্ডন চাইল্ডের মতে ছুতোরের কাজ করতে গিয়ে জ্যামিতির সূচনা হয়। বিভিন্ন সমাজে বিভিন্ন কারণে জ্যামিতির আবির্ভাব অস্বাভাবিক নয়। শুল্বসূত্রেও যজ্ঞের বেদি নির্মাণ করতে গিয়ে অর্থাৎ একান্তভাবেই হাতে কলমে কাজ করতে গিয়ে জ্যামিতির সমস্যার সমাধান করতে হয়েছে। সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র ছাড়া প্রাচীন যুগের বিরাট বিরাট যে সমস্ত নির্মাণের হদিস আমরা পাই, সেগুলো বানানো সম্ভব হত কি? আমরা প্রাচীন সিন্ধু সভ্যতার নগর পরিকল্পনার কথা জানি, সমকোণে রাস্তাগুলি ছেদ করত, বাড়ি তৈরির নির্দিষ্ট পদ্ধতি ছিল। সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র ছাড়া তাকে রূপায়ণ করা কঠিন হত। দেবীপ্রসাদ চট্টোপাধ্যায় অনুমান করেছেন যে সিন্ধুসভ্যতার জ্যামিতি জ্ঞানের সাহায্য পেয়েছিল শুল্বসূত্র, কারণ তার থেকে পুরানো জ্যামিতি জ্ঞানের কোনো নিদর্শন প্রাচীন ভারতীয় সাহিত্যে পাওয়া যায় না।

প্রাচীন কালের ইঞ্জিনিয়ারিঙের সব থেকে বিখ্যাত নিদর্শন হল 2600 খ্রিস্টপূর্বাব্দ নাগাদ তৈরি গিজার গ্রেট পিরামিড। গিজার পিরামিডে নানা জায়গায় সমকোণী কাঠামো বানাতে এই সূত্রের ব্যবহার হয়েছে। যেমন একটি ত্রিভুজের ভূমি 115.2 মিটার, লম্ব 146.6 মিটার ও অতিভুজ 186.4 মিটার। দশমিকে প্রথম ঘর পর্যন্ত এই মাপ পুরোপুরি সঠিক। এই সব ত্রিভুজে সমকোণ অর্থাৎ নব্বই ডিগ্রির মাপে ত্রুটি আছে দশ হাজার ভাগের এক ভাগেরও কম। এখানেও বোঝা যায় যে প্রমাণ জানা থাক বা না থাক, সূত্রটি সম্পর্কে তাদের সম্যক ধারণা ছিল।

সূত্র কথাটি বিজ্ঞানে সাধারণত পর্যবেক্ষণ বা পরীক্ষাতে পাওয়া কতকগুলি সিদ্ধান্তের জন্য ব্যবহার করা হয়। যেমন শক্তির সংরক্ষণ সূত্র বা রসায়নে ডালটনের সূত্র এ সবই পরীক্ষানিরীক্ষা করে পাওয়া দিয়েছিল। সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রটির উল্লেখ থাকা মানেই যে তার আধুনিক গণিতের পদ্ধতিতে অর্থাৎ স্বতঃসিদ্ধ থেকে অগ্রসর হয়েই তার প্রমাণ জানা ছিল এমন নাও হতে পারে। মানুষকে বহু জায়গায় বহুবার সমকোণী ত্রিভুজকে ব্যবহার করতে হয়েছে। পর্যবেক্ষণ ও পরীক্ষানিরীক্ষার মাধ্যমে সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রে পৌঁছানোও অস্বাভাবিক নয়।

আধুনিক গণিত মূলত স্বতঃসিদ্ধভিত্তিক, অর্থাৎ সেখানে অবরোহী যুক্তি কাজ করে। প্রাচীন বিজ্ঞানের চরিত্রও ছিল একই রকম, সেখানে একটি বা কয়েকটি সাধারণ সত্য ধরে নেওয়া হত, তার প্রমাণের প্রয়োজন পড়ত না। সেগুলিকে বিশেষ বিশেষ ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হত। এর ফলে সেখানে পরীক্ষানিরীক্ষা বা পর্যবেক্ষণের বিশেষ স্থান ছিল না। আধুনিক বিজ্ঞান কিন্তু আরোহী যুক্তিতে বিশ্বাসী; সেখানে নানা পর্যবেক্ষণ বা পরীক্ষা থেকে আমরা সাধারণ সত্যে পৌঁছানোর চেষ্টা করা হয়। ফলে সাধারণ সত্যটি পরিবর্তন করার বা বাতিল করার সুযোগ থাকে, এভাবেই আধুনিক বিজ্ঞান এগোয়। সেই অর্থে প্রাচীন গণিতের সঙ্গে আধুনিক বিজ্ঞানের সাদৃশ্য পাওয়া যায়।

তথ্যসূত্র

The Origin of Geometry in India: A Study of the Sulbasutras, Ramkrishna Bhattacharya

পিথাগোরাস ত্রয়ী: একটি পরিক্রমা, ভূপতি চক্রবর্তী

History of Science and Technology in Ancient India, Debiprasad Chattopadhyay

God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs that Changed History, Edited with Commentary by Stephen Hawking

Science in Saffron: Skeptical Essays on the History of Science, Meera Nanda

Mathematics, Samarendranath Sen, in A Concise History of Science in India, Chief Editor Debendramohan Bose, Editors Samarendranath Sen and B V Subbarayappa

 

প্রকাশঃ জনবিজ্ঞানের ইস্তাহার, শারদ ২০২৫